LibreOJ 3096:「SNOI2019」数论题解

解法

首先我们在\(Q\)的剩余系内枚举数\(x_0\),对于此每个数表示成\(x = (x_0 + k * P) \mod Q\),思考一下发现这些数会随着\(k\)变化,且这些数会呈现周期性规律:也就是这些数在一个环上,我们可以考虑记录\(Q\)剩余系中每一个数在\(P\)中的贡献,记录成前缀和,计算答案时比较排名来判断环的方向(长弧或是短弧)。

具体看代码吧,细细品味一下应该就能理解了。

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P1447:[NOI2010]能量采集题解

解法

这道题是一道裸题,考察莫比乌斯反演和 Dirichlet 卷积的知识。

在这里我们规定\(n<m\),这两者调换不会对答案产生影响。然后我们来观察这个计数规律,发现每一个点对答案的贡献至少为\(1\),附加的贡献其实就是当前线段上除了本身的整点(整数坐标点)个数的两倍,换句话说就是:

\[ ans = \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^m 1 + 2( gcd(i, j) – 1 ) \]

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莫比乌斯反演与杜教筛

简述

省选级别以上的 OI 赛事中的数学题,相比于 NOIp 的数学题来说要难很多。这篇文章我来记录学习了莫比乌斯反演和杜教筛之后的一些心得。以下是本文大纲:

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P3312:[SDOI2014]数表题解

解法

好题。

我们首先写出这道题的暴力解:

\[ answer = \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^m \sigma_1 (gcd(i, j)) [\sigma_1 (gcd(i, j)) \leq limit] \]

复杂度超级大,怎么办?换一种思维来写这个式子,考虑枚举每一个\(gcd(i, j)\)为\(d\),记起次数为\(g(d)\),我们可以搞出并化简为:

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